Design Science, Inc.

04  Владимир Арнольд. Для чего мы изучаем математику

Для чего надо изучать математику? В 1267 году на этот вопрос уже ответил английский философ Роджер Бэкон: "Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества". Собственно, на этом можно было бы и закончить лекцию, но люди думают, что, может быть, что-то изменилось за семь веков...
Послушаем более современное свидетельство - один из создателей квантовой механики, Поль Дирак, утверждает, что при построении физической теории "следует не доверять всем физическим концепциям". А чему же доверять? "Доверять математической схеме, даже если она, на первый взгляд, не связана с физикой". Действительно, все чисто физические концепции начала века физикой отброшены, а математические модели, взятые физиками на вооружение, постепенно обретают физическое содержание.

И в этом проявилась устойчивость математики.
Итак, математическое моделирование - продуктивный метод познания в естествознании. Мы подойдем к математическим моделям с другой стороны, рассматривая проблемы математического образования.
В нашем математическом образовании (и среднем, и высшем) мы идем в фарватере европейской системы, основанной на "бурбакизации" математики. Группа молодых французских математиков, выступавшая под псевдонимом Никола Бурбаки, начиная с 1939 года опубликовала несколько книг, в которых формально (т.е. с помощью аксиоматического метода) излагались основные разделы современной математики на основе теории множеств.
Формализация математики приводит и к определенной формализации ее преподавания. В этом и проявляются издержки "бурбакизации" математического образования. Характерный пример. Ученикам второго класса во французской школе задают вопрос:
-Сколько будет два плюс три? Ответ:
-Так как сложение коммутативно, то будет три плюс два.
Замечательный ответ! Он совершенно правильный, но ученику и в голову не приходит сложить эти два числа, потому что при обучении упор делается на свойства операций.
В Европе уже осознали недостатки такого подхода к образованию, и начался откат от "бурбакизации".
В нашей стране в последние годы происходит американизация математического образования. В ее основе лежит принцип: учить тому, что нужно для практики. А если кто-то считает, что ему математика не нужна, то он может не изучать ее совсем. В старших классах американских колледжей курс математики факультативен: третья часть старшеклассников, например, не изучает алгебру. К чему это приводит, показывает следующий пример. В тесте для 14-летних американских школьников предлагалось оценить (не вычислить, а лишь оценить), что произойдет с числом 120, если от него взять 80%. И предлагалось три варианта ответа: увеличилось; осталось прежним; уменьшилось. Крестики напротив правильного ответа поставили примерно 30% опрашиваемых. Иными словами, школьники ставили крестики наудачу. Вывод: никто ничего не знает.
Вторая особенность американского подхода к преподаванию математики - его компьютеризация. Само по себе увлечение компьютерами не способствует развитию мышления. Вот еще пример из американского теста: в классе 26 учеников. С ними нужно провести экскурсию на автомобилях. В одной машине могут ехать один родитель и 4 школьника. Сколько родителей нужно попросить помочь? Типичный ответ: 65 родителей. Компьютер выдает: 26:4 = 6,5. Ну а школьник уже знает, что если в решении должны быть целые числа, то с десятичной запятой надо что-то сделать, например отбросить.
А вот пример из официального американского экзамена 1992 года для студентов:
Что из нижеследующего больше всего походит на соотношение между углом и градусом:
а) время и час,
б) молоко и кварта,
в) площадь и квадратный дюйм (и т.д.).
Ответ: площадь и квадратный дюйм, так как градус - минимальная единица угла, а квадратный дюйм - площади, в то время как час делится еще и на минуты.
Составители этой задачи явно обучены по американской системе. Боюсь, что и мы придем к этому уровню.*

 *

Нью-Йоркский профессор Джо Бирман объяснил мне, что для него как американца "правильное" решение этой задачи совершенно очевидно. "Дело в том,- сказал он,- что я точно представляю себе степень идиотизма составителей этих задач".


Можно только удивляться, что в США так много замечательных математиков и физиков (правда, многие из них иммигранты; лучшие студенты в американских университетах сегодня - китайцы).
Сейчас наше математическое образование медленно поворачивается от европейской системы к американской. Как всегда, мы опаздываем, отстаем от Европы лет на 30, и надо быть готовыми к тому, чтобы через 30 лет спасать ситуацию и выходить из этого тупика, в который нас приведет американизация образования с ее прагматичностью, факультативностью, повальной компьютеризацией.
Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет назад в семьях сохранялись старинные "купеческие" задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим.
Рассмотрим, например, задачи:
1. Имеется 3 яблока, 1 взяли. Сколько осталось?
2. Сколько нужно сделать распилов, чтобы бревно распалось на 3 части?
3. У меня сестер на 3 больше, чем братьев. На сколько в нашей семье сестер больше, чем братьев?
С точки зрения арифметики это все разные задачи - у них разное содержание. Интеллектуальные усилия, нужные для решения этих задач, совершенно разные, хотя алгебраическая модель одна: 3 - 1 = 2.
В математике прежде всего поражает удивительная универсальность ее моделей и их непостижимая эффективность в приложениях.

Вспомним В.В.Маяковского: "Человек, впервые сформулировавший, что "два и два четыре" - великий математик, если даже он получил эту истину из складывания двух окурков с двумя окурками. Все дальнейшие люди, хотя бы они складывали неизмеримо большие вещи, например паровоз с паровозом, - не математики".

Считать паровозы - это и есть американский путь математического образования. Это гибель. Пример с развитием физики показывает, что "паровозная" математика в начале нашего века оказалась хуже "окурочной": прикладная математика не успевала за физикой, а в теоретической нашлось все, что необходимо было для дальнейшего развития физики. "Паровозная" математика не может успеть за практикой: пока мы учим считать на счетах, появляются компьютеры. Надо учить думать, а не тому, как нажимать на кнопки.

 

Правда, математическая модель не всегда дает немедленную практическую отдачу. Бывает, что она окажется полезной только через две тысячи лет.

Примером тому - конические сечения, они были открыты в Древней Греции и описаны Аполлонием Пергским (ок. 260 - ок. 170 гг. до н.э.) в 8-томном трактате. А понадобилась эта теория Иоганну Кеплеру в XVI веке, когда он выводил законы движения планет. Его учитель Тихо Браге в обсерватории "Ураниборг" в течение 20 лет скрупулезно измерял положения планет Солнечной системы. После смерти учителя Кеплер взялся за математическую обработку результатов этих наблюдений и обнаружил, что, например, траектория движения Марса - эллипс.

Эллипс - это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек, называемых фокусами, постоянна. Тот факт, что сечение конуса плоскостью, достаточно сильно наклоненной к его оси, является эллипсом, - замечательная геометрическая теорема, к сожалению, не доказываемая в школе. Доказательство ее очень просто (см. рисунок 1). Вписанные в конус и касающиеся плоскости (в фокусах Е и F эллипса) сферы, на рассмотрении которых основано доказательство, называются сферами Данделена.

[Maple OLE 2.0 Object]

Рисунок 1

Чтобы понять рассуждения Кеплера, нам потребуются некоторые простые факты из геометрии эллипса. Длина большой полуоси эллипса ОК (рис.2), обычно обозначаемая через а , равна длине гипотенузы EL треугольника с катетами b=ILOI и c = IEOI

b=abs(LO);c=abs(EO);

[Maple OLE 2.0 Object]

Рисунок 2

Отношение с/а  характеризует форму эллипса и называется эксцентриситетом, так как пропорционально смещению фокусов от центра
 эллипса. Эксцентриситет обычно обозначается буквой e.

По теореме Пифагора отношение длин полуосей эллипса есть

b/a=sqrt(1-e^2);

b/a = (1-e^2)^(1/2)

При малых е

b/a    ~    1-e^2/2   

Отсюда видно, что эллипс с малым эксцентриситетом практически неотличим от окружности. Например, если е = 0,1, то малая ось короче большой всего на 1/200. Для эллипса с длиной большой оси 1 метр малая ось короче большой всего на полсантиметра, так что на глаз отличие такого эллипса от окружности вообще не заметно. Фокусы же смещены от центра на 5 см, что очень заметно.

Формула

b/a = (1-e^2)^(1/2)    ~   1-e^2/2

(означающая, что больший катет вытянутого прямоугольного треугольника практически столь же длинен, как и гипотенуза, и дающая с очень хорошим приближением разность их длин) - один из самых замечательных общематематических фактов (к сожалению, в школе этому не учат).

Например, предположим, что вы возвращаетесь домой по синусоиде. Насколько ваш путь длиннее, чем если бы вы шли прямо (рис.3)?

[Maple OLE 2.0 Object]

Рисунок 3

Первое впечатление (что вдвое), конечно, преувеличивает длину. Всё же кажется, что путь по синусоиде длиннее раза в полтора. На самом деле всего примерно на 20 % . Причина в том, что большая часть синусоиды слабо наклонена к оси, поэтому соответствующие гипотенузы практически не длиннее катетов.

Вот ещё одно применение той же формулы. Реактивные струи первых реактивных двигателей, установленные на крыльях самолета вблизи фюзеляжа, представляли опасность для хвостового оперения. Конструкторы, знавшие и чувствовавшие обсуждаемую формулу, повернули двигатели на небольшой угол a   (рис.4).

[Maple OLE 2.0 Object]

Рисунок 4

Хвостовое оперение было спасено (отклонение струи пропорционально a  ), а результирующая сила тяги практически не изменилась (потеря ~a2/2 , где  a  - угол в радианах; для угла в 3  теряется всего порядка 1/800 мощности).

Вернёмся к Кеплеру. Сначала Кеплер думал, что орбита Марса - окружность. Однако Солнце оказалось не в центре, а сдвинутым примерно на 1/10 часть радиуса. Но Кеплер не остановился на этом (уже замечательном) результате - потому что он знал теорию конических сечений. Кеплер знал, что эллипс с малым эксцентриситетом очень похож на окружность, и проверил, как ведет себя то небольшое отклонение орбиты от окружности, которое еще оставалось. Интересно, что сделать это можно было только благодаря исключительной точности наблюдений Тихо Браге, сделанных невооруженным глазом. В те времена астрономы не очень доверяли телескопам, и еще в конце XVII века приходилось доказывать, что телескопические наблюдения могут достигать столь же большой точности, как наблюдения невооруженным глазом.

Новая физика часто начинается с уточнения последней значащей цифры предыдущей теории - если бы Кеплер удовлетворился своей эксцентрической круговой орбитой или если бы наблюдения Тихо Браге были бы менее точны, развитие небесной механики (а возможно, и всей теоретической физики) могло бы задержаться - может быть даже на века.

Орбита Марса оказалась слегка сплюснутой в направлении, перпендикулярном диаметру, на котором лежит Солнце - примерно на полпроцента, т.е. на e2/2 . Так Кеплер пришел к мысли об эллиптических орбитах планет.

Если бы теория конических сечений не была заранее разработана математиками, то фундаментальные законы природы не были бы своевременно открыты, не возникла бы современная наука и технология, а наша цивилизация оставалась бы на средневековом уровне - или, по меньшей мере, пути истории были бы совсем иными.

Кеплер открыл закон движения планет, но тот факт, что они движутся по эллипсам, доказал Исаак Ньютон в своей книге "Математические начала натуральной философии" (1687г.), которая послужила основой всей современной теоретической физики. Он получил эллиптичность планетных траекторий как следствие закона всемирного тяготения.

Заметим, что до Ньютона этой проблемой занимался его современник Роберт Гук. Он изучал закон движения тела в поле тяготения, считая, что притяжение обратно пропорционально квадрату расстояния. Приближенно проинтегрировав уравнение движения, Гук нарисовал орбиты и увидел, что они похожи на эллипсы. Назвать их эллипсами ему не позволила научная честность, а доказать эллиптичность он не мог. Поэтому Гук назвал траекторию эллиптоидом и предложил Ньютону доказать, что первый закон Кеплера (планеты движутся по эллипсам) следует из закона обратных квадратов. Ньютон, хорошо знавший древнюю теорию конических сечений, справился с этой задачей при помощи хитроумных элементарно-геометрических построений.

Впоследствии кривые второго порядка стали все чаще появляться в естественно-научных исследованиях. Почему эта модель оказалась столь плодотворной для приложений? Почему, в частности, модель сечения конуса описывает движения планет? Мистика. Загадка. Ответа на этот вопрос нет. Мы верим в силу рациональной науки. Ньютон видел в этом доказательство существования Бога: "Такое изящнейшее соединение Солнца, планет и комет не могло произойти иначе, как по намерению и по власти могущественного и премудрого существа... Сей управляет всем не как душа мира, а как властитель Вселенной, и по господству своему должен именоваться Господь Бог Вседержитель".

Современные исследователи космоса, проектируя запуск искусственных спутников, тоже используют свойства конических сечений. Таким образом база современной физики и научно-технической революции закладывалась и классическим произведением Апполония. Тогда как он, исследуя конические сечения, думал лишь о красоте данной математической модели.

Другой пример - история создания  ЭВМ. Задолго до появления первых ЭВМ в математике были заготовлены два их основных математических компонента: математическая логика (алгебру логики разработал Джорж Буль, 1815-1864) и принципиальная схема устройства вычислительной машины. Первую суммирующую машину сконструировал в 1641 году французский математик Блез Паскаль.

Третий пример - разработка волновой механики Э.Шредингером. К моменту, когда Шредингер обратился к колебательной задаче, уже был известен матричный вариант квантовой механики В.Гейзенберга. Встал вопрос, как получить из теории волн во всем пространстве дискретный, а не непрерывный спектр? Шредингеру помог известный немецкий математик Герман Вейль. Без его результатов по спектральной теории на неограниченном интервале мы бы никогда не узнали о знаменитом уравнении Шредингера. Опять та же история: нашелся математик, у которого уже была готова теория - граничные условия на бесконечности,- оставалось ее использовать.

Следующий пример - римановы поверхности. Их ввел в рассмотрение немецкий математик Бернхард Риман в середине прошлого века. Это поверхности, которые получаются в результате соответствующего разрезания и склеивания нескольких (или даже бесконечного числа) плоскостей комплексного переменного. Топологически такая поверхность может быть сферой, сферой с несколькими ручками и т.д. (рис.5).

Рисунок 5

Учение о римановых поверхностях разработано в теории функций комплексного переменного. Затем они неожиданно оказались полезными совершенно в других задачах. Например, на римановых поверхностях получили простую геометрическую трактовку эллиптические интегралы.

Рассмотрим, например, движение частицы по прямой в поле с потенциальной энергией U, определяемое уравнением Ньютона

x" = -dU/dx.

Предположим, что U  - многочлен четвертой степени с двумя несимметричными потенциальными ямами (рис.6).

Рисунок 6

Движение частицы в каждой из ям периодично. В какой из ям период колебаний (при данном значении полной энергии Е) больше: в более глубокой или более мелкой? Из теории римановых поверхностей следует, что оба этих периода точно равны.
Закон сохранения энергии

1/2*v^2+U(x) = E

v^2/2+U(x)=E;

(v = dx/ dt)
определяет на "фазовой плоскости" (х,у) кривую, состоящую из двух компонент. Период дается формулой

T = Int(1/((2*E-2*U(x))^(1/2)),x = x[min] .. x[max])

T=Int(1/sqrt(2*(E-U(x))),x=x[min]..x[max]);

ибо

dt = dx/v

dt = dx/(2*E-2*U)^(1/2)

dt=dx/v;dt=dx/sqrt(2*(E-U));

Если U - многочлен 4-й степени, то этот интеграл эллиптический, он не берется в элементарных функциях. Причина - топологическая. Уравнение закона сохранения энергии определяет "кривую" на "плоскости" двух комплексных переменных (х,у) (эта плоскость имеет вещественную размерность 4). Эта "кривая" (пополненная парой бесконечно удаленных точек) и есть риманова поверхность нашей задачи. Топологически эта поверхность представляет собой тор (рис.7).

[Maple OLE 2.0 Object]

Рисунок 7

Этим и объясняется несводимость эллиптических интегралов к элементарным (чтобы интегралы брались, риманова поверхность должна иметь топологию сферы).
Вещественные точки нашей римановой поверхности - это в точности две замкнутые траектории на вещественной фазовой плоскости (х,у), соответствующие периодическим движениям частицы с фиксированной полной энергией Е в обеих ямах и изображенные на рисунке 6 внизу. На поверхности тора они расположены как два меридиана (рис.7).

Равенство периодов колебаний в обеих ямах следует из того, что суммарный поток несжимаемой жидкости, текущей по поверхности тора, через оба края цилиндра, ограниченного на торе парой его меридианов, равен нулю.

Карл Густав Якоби доказал, что римановы поверхности "управляют" еще двумя задачами:
1) определение числа способов, которыми заданное число можно представить в виде суммы четырех квадратов

N = x^2+y^2+z^2+u^2

N=x^2+y^2+z^2+u^2;

2) исследование колебаний маятника, которое приводит к решению дифференциального уравнения 

x'' = - sin(x)

x*`"`=-sin(x);

В качестве пятого примера рассмотрим так называемый треугольник Бернулли-Эйлера:

[Maple OLE 2.0 Object]

Он заполняется так. В нулевой строке пишется "1". Каждая нечетная строка (1-я, 3-я, ...) заполняется справа: в каждой позиции стоит сумма всех чисел предыдущей строки, стоящих правее данной позиции. Каждая четная строка заполняется аналогично, но слева.
Чудо, заключенное в этом треугольнике, открыто 100 лет назад. Ключ к нему дает "простая" (математики часто скрывают, что все обстоит очень просто) теорема:

sec(t)+tg(t) = Sum(k[n]*t^n/n!,n = 0 .. infinity)

sec(t)+tg(t)=Sum(k[n]*t^n/n!,n=0..infinity);

Коэффициенты  kn в этом равенстве стоят на "склонах" (боковых сторонах) треугольника Бернулли-Эйлера.
Отсюда по левому "склону" легко получить разложение в степенной ряд функции tg (x)  (вспомните, что она нечетная, и в разложении будут только нечетные члены):

 a[1] = k[1]/1!   = 1  ,
   a[3] = k[3]/3!  = 2/6  = 1/3    ,

a[5] = k[5]/5!  = 16/120  = 2/15 ,

.......

tg(x) = x+1/3*x^3+2/15*x^5+`...`

Аналогично по правому "склону" получается разложение в ряд секанса.
Треугольник Бернулли-Эйлера доставляет топологическую классификацию вещественных многочленов

x^(n+1)+a[1]*x^n+`...`+a[n+1]

все n критических значений которых вещественны и различны.
График такого многочлена имеет вид змеи, и я буду называть его змеёй.
Все возможные типы змей с n <= 4  указаны на рисунке 8.

Рисунок 8

Мы относим две змеи к одному типу, если они переводятся друг в друга гладкими заменами независимых и зависимых переменных, сохраняющими ориентации (т.е. имеющими положительные производные).
Рассмотрим, например, змеи многочленов степени 4 ( n = 3). Три критические точки обязательно идут в порядке минимум - максимум - минимум. Топологический тип змеи определяется тем, будет ли последний минимум выше или ниже первого. Поэтому число типов змей с n = 3 равно 2.
Для змей с n = 4 второй максимум может быть ниже или выше первого. В первом случае второй минимум может занимать два положения (выше или ниже первого минимума, но всегда ниже обоих максимумов), а во втором - три. Итого пять типов.
Если у вас хватит терпения нарисовать все змеи с n = 5, то Вы убедитесь, что их 16, а при n = 6 - 61 (это тоже еще поддается рисованию). Появление в какой-нибудь классификации числа Эйлера 61 - обычно признак того, что рядом и остальные.
Будем теперь классифицировать змей по хвостам, т.е. по самым правым критическим точкам. Занумеруем все n критических значений (значения многочленов в точках локальных максимумов и минимумов) в порядке возрастания (т.е. снизу вверх) числами от 1 до n. Этот номер критической точки будем называть ее высотой.
Высоты хвостов змей указаны на рисунке 8. Например, пять змей с n=4 распределяются по высотам хвостов так:
высота хвоста 1     2     3     4
число змей      2     2     1     0
Сумма 2+2+1 + 0=5, естественно, равна полному числу змей. Сравнивая эти числа змей с разными высотами хвостов с числами треугольника Бернулли - Эйлера, видим, что они (с точностью до порядка) совпадают.
После того как этот - достаточно неожиданный - факт замечен (для чего обязательно нужна экспериментальная работа с рисованием змей), уже нетрудно доказать, что распределение змей по высотам хвостов удовлетворяет рекуррентному соотношению, определяющему треугольник Бернулли - Эйлера. Сама формула

K(t) = sec(t)+tg(t)

K(t)=sec(t)+tg(t);

где

K(t) = Sum(k[n]*t^n/n!,n = 0 .. infinity)

K(t)=Sum(k[n]*t^n/n!,n=0..infinity);

доказывается так.

Рассмотрим змею с n + 1 критической точкой. Выберем самый высокий локальный максимум и потянем его вверх до бесконечности.
В результате змея распадется на две более короткие змеи, причем суммарное число критических точек уменьшится на 1 . Аналогично можно потянуть до       самый низкий локальный минимум. Отсюда получается рекуррентное соотношение

2*K[n+1] = Sum(c[n]^i*k[i]*k[n-i],i = 0 .. n)

2*K[n+1]=Sum((c[n])^i*k[i]*k[n-i],i=0..n);

Здесь произведение kikn-i пересчитывает всевозможные пары обрывков, множитель   cni учитывает различие взаимных расположений критических значений на обоих обрывках, а коэффициент 2 учитывает использование и максимума, и минимума.

В терминах функций К наше соотношение записывается в виде дифференциального уравнения

2 dK/dt  = 1 + K2

откуда

К = sec (t)+ tg (t),

поскольку

K(0) = k0   = 1

Последний пример. Рассмотрим модель изменения численности некоторой популяции животных (например, количество рыбы в пруду или океане). В простейшем случае ситуация описывается моделью х' = kx  ( x - численность популяции, k - коэффициент пропорциональности) . Решением этого дифференциального уравнения является экспонента.

Однако на практике с ростом х ухудшаются условия жизни популяции, и коэффициент k уменьшается. Например, при k = а - bх  получаем так называемое логистическое уравнение. В случае а = b = 1 его решения (рис.9) ведут к стабильному уровню "населения" х = 1 .

Рисунок 9

Если вдобавок ввести некоторую квоту с на отлов части популяции, то уравнение усложнится незначительно:

x*`'` = x-x^2-c

x*`'`=x-x^2-c;

Это простейшая модель рыболовства. При уровне квоты с < 1 /4 снова устанавливается устойчивое решение (рис.10), при с > 1/4 получим быстрый процесс вымирания (рис.11).

Рисунок 10

[Maple OLE 2.0 Object]

Рисунок 11

При с = 1/4 решения уравнения приводят к установившемуся режиму на уровне 1/2 от исходной популяции (рис.12). Однако этот режим неустойчив: малые случайные колебания ведут к катастрофе - уничтожению популяции.

[Maple OLE 2.0 Object]

Рисунок 12

Как достичь оптимального вылова при сохранении популяции на некотором устойчивом уровне? Ответ: не назначать жесткого плана вылова, а вести его с учетом обратной связи, т.е. ввести квоту, пропорциональную фактически имеющимся ресурсам. В модели с обратной связью

x*`'` = x-x^2-k*x

x*`'`=x-x^2-k*x;

оптимальное значение коэффициента k = 1/2. При таком выборе k устанавливается средний многолетний вылов

k*x[0] = 1/4

k*x[0]=1/4;

[Maple OLE 2.0 Object]

Рисунок 13

Это такой же вылов, как при максимально жестком плане отлова.
Большая производительность в этом случае невозможна. Но при жестком плане система теряет устойчивость и гарантированно самоуничтожается, а обратная связь стабилизирует ее, и небольшие изменения коэффициента k не ведут к катастрофе.
Было бы совсем неплохо, если бы лица, принимающие ответственные решения, были ознакомлены с подобными моделями и другими правилами выбора стратегических социальных решений.
Более простые математические соображения - тот факт, что законы природы описываются дифференциальными уравнениями, - позволяют понять некоторые кажущиеся парадоксальными явления в нашей жизни.
В течение нескольких десятилетий состояние нашей экономики вызывало тревогу специалистов: милитаризация, монополия и
общая некомпетентность руководства привели к тому, что сделалась устойчиво отрицательной вторая производная (стали систематически замедляться темпы развития).

(Запись лекции нам представил доцент Ю.Фоминых (Пермь). Графика Юрия Ващенко.)

Не понимающего математику это не слишком пугало, так как первая производная все же была положительна (благосостояние росло). Но математики знают, что постоянно отрицательная производная (даже высокого порядка) в конце концов приведет к отрицательности первой производной, т.е. к падению производства и благосостояния общества, причем этот процесс ухудшения, когда он сделается заметным, будет ускоряться. Вследствие инерционности системы мгновенно изменить положение в такое время нельзя уже никакими средствами, так как всякого рода изменения влияют лишь на знак старшей производной (ждя нашей перестройки - третьей или даже четвёртой). Таким образом, наблюдаемая экономическая деградация вызвана не столько неправильными новыми решениями, сколько давними ошибками, сделанными ещё во время роста производства. К сожалению, эти элементарные математические факты очень трудно объяснить ограбленному народу, склонному приписывать все ухудшения реформам. Любые реформы, конечно, должны приводить к ухудшению, даже если они самые правильные.

Планы обычно составлялись так, чтобы оптимизировать продукцию на 20 лет вперед ("на наш век хватит"). Математику ясно, что оптимальное планирование этого рода должно привести к полному уничтожению всех ресурсов к концу срока  (иначе оставшиеся  ресурсы   можно было бы использовать и, значит, план не был бы оптимальным).  К счастью, планы эти "корректировались" и не исполнялись. Но все же основные тенденции выдерживались, и мы к началу перестройки, грубо говоря, съели все, что у нас было.
Попытки составить детальные "программы" экономической реформы по дням подобны попыткам планирования всей экономики и аналогичны попытке составить программу для водителя автомобиля, который должен доехать от Москвы до Санкт-Петербурга (на такой-то минуте поверни направо, на такой-то налево). Успех может быть достигнут только за счёт обратной связи. Т.е. нужна не программа (траектория),а, говоря математическими терминами, векторное поле в пространстве состояний системы - механизм принятия решений в зависимости от реально достигнутого состояния, а не от календарной даты.

Кое-что из сказанного следует иметь в виду и при реформировании системы образования.

Наши примеры показывают, что "нет ничего практичнее хорошей теории". Нужно, чтобы работники образования не гнались за сиюминутной практической потребностью, а всегда видели перспективные цели общества.

© 1993 «Бюро Квантум» «Квант»
Hosted by uCoz