М001

В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес*), приблизилось время новых президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых только один процент (регулярная армия Анчурии) поддерживает Мирафлореса. Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет, чтобы выборы казались демократическими. "Демократическим голосованием" Мирафлорес называет вот что: все избиратели разбиваются на несколько равных групп, затем каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп, затем эти последние группы снова разбиваются на равные группы и т. д.; в самых мелких группах выбирают представителя группы-выборщика, затем выборщики выбирают представителей для голосования в еще большей группе и т. д.; наконец, представители самых больших групп выбирают президента. Мирафлорес делит избирателей на группы, как он хочет, и инструктирует своих сторонников, как им голосовать. Сможет ли он так организовать "демократические выборы", чтобы его избрали президентом? (При равенстве голосов побеждает оппозиция.)
XXXII Московская математическая олимпиада

М002

Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности

радиуса r  ( ). 

Окружность  касается всех окружностей 

  . 

кроме того, касаются друг друга окружности 

 и ;  и ; ... ;  и . 

При каких n  это возможно? Вычислить соответствующий радиус r  .
XVIII Математическая олимпиада Чехословакии

М003

На рисунке 1 плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах квадратной сетки. При каком числе цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?

На рисунке 2 плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного итого же цвета образуют вершины решетки, из одинаковых правильных треугольников. При каком числе цветов возможно аналогичное построение?

Примечание . В первой задаче число цветов может равняться единице (все квадраты одного цвета) и двум (как на шахматной доске). Во второй задаче вы без труда найдете решения с одним цветом и с тремя цветами. Желательно дать полное решение задач,т. е. описать все раскраски, удовлетворяющие указанным условиям. Присылайте, однако, и неполные решения, если они покажутся вам интересными. Подумайте, например, существует ли во второй задаче решение с тринадцатью цветами?
A.Н. Колмогоров

М004

Дан отрезок АВ. Найти на плоскости множество точек С таких, что в треугольнике ABC медиана, проведенная из вершины А, равна высоте, проведенной из вершины В.

XXXII Московская математическая олимпиада

М005

В множестве Е, состоящем из n элементов, выделены m различных подмножеств (отличных от самого E) так, что для каждых двух элементов Е найдется ровно одно из данных подмножеств, в которое входят оба эти элемента.
Доказать, что . В каких случаях возможно равенство?

Н. Бурбаки

Ф001

Три сообщающихся сосуда с водой, центры которых находятся на одинаковом расстоянии а  друг от друга, прикрыты поршнями одинаковой толщины, сделанными из одного и того же материала (рис. 3). К поршням прикреплены вертикальные одинаковые штоки, которые шарнирно соединены со стержнем АВ. В какой точке стержня можно прикрепить к нему груз, чтобы в положении равновесия стержень оставался горизонтальным, если массы стержня и штоков пренебрежимо малы по сравнению с массами поршней и груза. Диаметры сосудов указаны на рисунке.

Ф002

На горизонтальной плоскости лежат два шарика с массами m₁   и m₂  , скрепленные между собой пружинкой с жесткостью с . Плоскость гладкая. Шарики сдвигают, сжимая пружину, затем их одновременно отпускают. Определите периоды возникших колебаний шариков.

Ф003

Из двух одинаковых кусков стальной проволоки свили две пружины. Диаметр витков одной из них равен d, другой 2d. Первая пружина под действием груза растянулась на одну десятую своей длины. На какую часть своей длины растянется под действием того же груза вторая пружина?

Г. И. Косоуров

Ф004

В баллоне содержится очищенный газ, но неизвестно какой. Чтобы поднять температуру 1 кг этого газа на один градус при постоянном давлении требуется 958,4 дж , а при постоянном объеме - 704,6 дж . Что это за газ?

III Всесоюзная физическая олимпиада

Ф005

Имеется электрическая цепь, изображенная на рисунке 4. Что покажет вольтметр с очень большим внутренним сопротивлением, если его присоединить к точкам С и D?

Ф006

Найдите, чему равен заряд заземленного металлического шара радиуса r, если на расстоянии R от его центра находится точечный заряд q.

II Всесоюзная физическая олимпиада