01

Математик шел домой по берегу ручья вверх по течению со скоростью в полтора раза большей, чем скорость течения ручья, и держал в руках палку и шляпу. В некоторый момент он бросил в ручей шляпу, перепутав ее с палкой, и продолжал идти вверх по течению ручья с той же скоростью. Через некоторое время он заметил ошибку, бросил палку в ручей и побежал назад со скоростью вдвое большей, чем шел вперед. Догнав плывшую шляпу, он мгновенно выудил ее из воды, повернулся и пошел по течению с первоначальной скоростью. Через 10 минут он встретил плывущую по ручью палку. Насколько раньше он пришел бы домой, если бы не перепутал палку со шляпой?

02

Для всякого ли треугольника ABC найдется такая точка Р, что все три точки, симметричные точке Р относительно прямых АВ, ВС и АС, лежат на окружности, описанной около треугольника АВС?

03

Для каких значений а разность корней уравнения

равна 3?

04

Студент за пять лет учебы сдал 31 экзамен. В каждом следующем году он сдавал больше экзаменов, чем в предыдущем. На пятом курсе экзаменов втрое больше, чем на первом. Сколько экзаменов на четвертом курсе?

05

Основания равнобочной трапеции 4 см и 8 см, ее площадь 21 см2. Какую сторону пересекает биссектриса угла при большем основании - меньшее основание или боковую сторону трапеции?

06

Все цифры некоторого четырехзначного числа, являющегося полным квадратом, можно уменьшить на одно и то же число так, что получится четырехзначное число, тоже являющееся полным квадратом. Найти все такие числа.

07

Может ли сумма расстояний от точки, лежащей внутри выпуклого четырехугольника, до всех его вершин быть больше его периметра?

08

Один из трех гангстеров, известных в городе Ч. под кличками Арчи, Босс и Весли, украл портфель с деньгами. На допросе каждый из них сделал три заявления:
Арчи: 1) Я  не брал портфеля.
         2) В день кражи я уезжал из города Ч.
         3) Портфель украл Весли.
Босс: 1) Портфель украл Весли.
         2) Если бы я и взял его, я бы не сознался.
         3) У меня и так много денег.
Весли: 1) Я  не брал  портфеля.
          2) Я давно ищу хороший портфель.
          3) Арчи прав, говоря, что он уезжал из Ч.
В ходе следствия выяснилось, что из трех заявлений каждого гангстера два верных, а одно неверное. Кто украл портфель?

09

Найти  целые  числа х  и у  такие, что

10

Квадратная площадь размером 100 м X 100 м выложена квадратными плитами 1 м X 1 м четырех цветов: белого, красного, черного и серого - так, что никакие две плиты одинакового цвета не соприкасаются друг с другом (т. е. не имеют общей стороны или вершины). Сколько может быть красных плит?

11

Решить уравнение

12

Дан треугольник ABC. Найти точки К и Н, лежащие соответственно на сторонах АВ и ВС, такие, что  ВК = КН = НС.

13

Найти все такие простые числа р , что  тоже простое.