7. Загадка Архимеда   

Попробуем разложить в цепную дробь число

Уже на этом этапе выкладок мы видим, что первыми подходящими дробями будут

Проделайте сами выкладки и убедитесь, что

Вот и все. До чего же просто! Эта таблица раскрывает секрет Архимеда, а заодно и Меция. Из нее видно:

,

,

,

.

(нечетные приближения с недостатком, четные - с избытком).

Можно ли считать, что Архимед и Меций разоблачены: они пользовались цепными дробями, Архимед использовал вторую подходящую дробь, а Меций - четвертую?

Нет, про Архимеда этого сказать нельзя.
Следует ясно понять, что мы решили математическую, но не историческую задачу. Мы объяснили, как  м о ж н о   прийти к числу  .
Весьма возможно, что Архимед пользовался цепными дробями, но установить это по его работам нельзя. Суд не признал бы наших доводов. Историки не пришли к единому мнению. Преимущество седьмых долей можно обнаружить и эмпирически, сравнивая их с разными другими.

Другое дело Меций. Невероятно предположить, что такая сложная дробь, как    

 , 

найдена без теории. Очень вероятно, что Меций пользовался цепными дробями. Понятно почему он остановился на четвертой подходящей дроби: следующие настолько громоздки, что практически непригодны.

8. Загадка Григория XIII

Сначала подумаем, как мы сами решили бы проблему чередования високосных лет. Мы представили бы длину года в виде цепной дроби.

В графе "Погрешность" знак минус указывает, что средняя длина года больше истинной.

Четвертый вариант исключительно точен. Погрешность в 1 сек. не имеет никакого практического значения. Поэтому были предложения   использовать этот календарь. Например, в 1864 году русский астроном Медлер предложил с XX столетия ввести  такой календарь в России. Для этого надо внести  в юлианский календарь следующую поправку:  каждые  128 лет пропускать один високосный (потому что по юлианскому календарю на 128 лет приходится 32 високосных). Однако этот календарь не был принят
нигде в мире, по-видимому, потому, что период 128 "некруглый".

Решив математическую задачу, вернемся к задаче исторической. Каковы были соображения Григория XIII (или его сотрудников)?

В начале статьи говорилось, что средняя длина григорианского года

   365 суток 5 час. 49 мин. 12 сек.    

Это значение отличается от истинного на целых 26 секунд. Получается впечатление, что папа Григорий XIII или его ученые советники придумали календарь более сложный, чем хайямовский и к тому же менее точный. Значит ли это, что они были плохими математиками? Оказывается дело не в этом.

При Григории XIII продолжительность года не была известна столь точно, как теперь. Комиссия Григория XIII пользовалась астрономическими таблицами, составленными Альфонсом X (1221 - 1284), королем Кастилии, который занимался астрономией (недаром его прозвали Альфонс-астроном). Эти таблицы впервые были изданы в Венеции через сто лет после смерти их автора. В них дается следующая продолжительность года:

Пользуясь этими таблицами, комиссия должна была прийти к выводу, что предложенная ею средняя длина календарного года только на четыре секунды отличается от истинной. Если бы комиссия и была знакома с предложением Омара Хайяма, то она пришла бы к выводу, что его календарь дает ошибку в 11 секунд.
Добавим, что нет никаких оснований предполагать, что комиссия Григория XIII использовала цепные дроби. Она кропотливо, в поте лица подбирала нужное соотношение.
Что касается Омара Хайяма, то ученые думают, что он владел, если не полной теорией цепных дробей, то каким-либо аналогичным принципиальным подходом к задачам о наиболее рациональных приближениях дробями с небольшими знаменателями. В его эпоху восточная наука во многих отношениях стояла выше европейской.