1.  Загадка Архимеда

Многие полагают: чтобы найти что-нибудь необыкновенное, надо отправиться очень далеко, лучше всего в космос. В обыденной жизни вокруг нас все хорошо известно, и ничего интересного нет.
Какое заблуждение! Мы окружены загадочными явлениями, но не задумываемся над ними, потому что они привычны. Здесь будет рассказано о двух загадочных фактах из истории математики.
Все школьники мира "проходят" в курсе геометрии, что Архимед нашел для числа  p   приближенное значение 22/7 *).

К этому факту так привыкли, что не подозревают, какая тайна в нем скрыта. А между тем стоит только задать естественный вопрос: почему Архимед предпочел седьмые доли? Почему не восьмые? Попытка ответить на этот вопрос приведет нас в новую область арифметики.

Если есть середина отрезка

то для  определенности условимся выбирать его левый конец.

Процесс замены числа  его приближенным значением называют аппроксимацией  (приближением).

Из изложенного понятно, что для аппроксимации числа  можно пользоваться дробями с любым знаменателем. Выбор знаменателя зависит от нашего желания. Ради технического удобства почти всегда пользуются десятичными дробями. Однако во времена Архимеда десятичные дроби еще не были изобретены, и Архимед мог выбрать любые доли. Он выбрал седьмые. Почему? Терпение, скоро мы в этом разберемся.

При аппроксимации действительного числа  дробью - возникает погрешность

(запомним: погрешность есть точное значение минус приближенное ). Если приближенное значение взято с недостатком, то погрешность положительна, а если с избытком - отрицательна.
Абсолютная величина погрешности называется абсолютной погрешностью .
Ясно, что при избранном способе аппроксимации абсолютная погрешность не может превышать  (см. рис.1)

Число    есть верхняя граница   абсолютной погрешности . При другом способе аппроксимации верхняя граница может быть иной. Например, если бы мы условились всегда брать приближение с недостатком, то она равнялась бы   .

Абсолютная погрешность достигает верхней границы в том (самом неблагоприятном) случае, когда есть середина отрезка

.

Ясно, что приближение выгодно, если оно при малом знаменателе q  дает высокую точность . Чтобы характеризовать выгодность, надо сравнить две величины: 1) фактическую абсолютную погрешность, 2) верхнюю границу абсолютной погрешности:

Принято рассматривать половину этой величины. Назовем ее приведенной погрешностью

2. Загадка Григория XIII

Григорий XIII не был математиком. Он был римским папой. Тем не менее его имя связано с важной математической задачей - с проблемой календаря.

Природа дала нам две естественные единицы времени: год и сутки (солнечные). Как сказано в одном старом учебнике космографии  "к сожалению, год не равен целому числу суток".

С этим нельзя не согласиться, так как из упомянутого факта проистекает много неудобств. Зато он порождает интересную математическую проблему.

 или

Узаконить в гражданской жизни такую длину года невозможно. А что получится, если считать год равным 365 суткам?

На рис. 3 показана орбита Земли. 1 января 1970 г. в 0 час. Земля находилась в точке А. За 365 суток она не придет в ту же точку орбиты и, следовательно, 1 января 1971 г. в 0 час. окажется в точке В, а 1 января 1972 г. - в точке С и т. д. Получится, что если фиксировать некоторую дату, то положение Земли на орбите будет каждый год иное (оно будет отставать почти на 6 часов).
За четыре года отставание составит почти сутки, и фиксированная дата будет попадать на разные времена года, т. е. 1 января с зимы постепенно переместится на осень, потом на лето. Это неудобно: периодические мероприятия (посев, начало учебного года) нельзя будет связывать с определенными календарными датами.

Выход из этого положения есть. Надо считать некоторые годы по 365 суток, а некоторые по 366 суток, чередуя их так, чтобы средняя длина года была возможно ближе к истинной. Можно воспроизвести истинную длину года с любой точностью, но для этого может понадобиться очень сложный закон чередования коротких (простых) и длинных (високосных) лет, что нежелательно. Нужен компромисс: сравнительно простой закон чередования лет, дающий среднюю длину года, достаточно близкую к истинной.

Эту задачу впервые разрешил Юлий Цезарь. Разумеется, к правителю слово "разрешил" может применяться лишь условно. Это сделал для него александрийский астроном Созиген, вызванный для этой цели в Рим. Юлий Цезарь ввел такую систему: три года подряд коротких, четвертый - длинный.

Много позже, когда было принято христианское летосчисление, високосными стали считать годы, номер которых делится на 4. Этот календарь называют "юлианским". По юлианскому календарю средняя длина года составляет

Как видно, средняя длина юлианского года больше истинной на 11 мин. 14 сек. В 16 столетии папа Григорий XIII пожелал исправить эту неточность. В 1582 году он произвел следующую реформу календаря. Сохраняется чередование простых и високосных лет, но оно дополняется правилом: если номер года оканчивается двумя нулями, а число сотен не делится на 4, то этот год простой.

Например, по этому правилу 1700 год простой, но 1600 високосный.

Кроме того, считая, что от начала летосчисления (от "рождества Христова") уже накопилась ошибка в 10 дней, Григорий XIII сразу прибавил 10 дней. С тех пор накопилось еще 3 дня (в 1700, 1800 и 1900 годах). Поэтому в настоящее время между юлианским календарем и новым ("григорианским") расхождение составляет 13 дней.

Какова средняя длина григорианского года? Из 400 лет по юлианскому календарю 100 високосных, а по григорианскому - 97. Поэтому

,

т. е. она больше истинной на 26 сек.

Как видим, весьма простыми средствами достигнута очень большая точность.

В царской России до Великой Октябрьской революции пользовались юлианским календарем. Григорианский календарь был введен специальным декретом Совета Народных Комиссаров в 1918 году. Им мы и пользуемся в настоящее время. Степень его соответствия реальной длине солнечного года вполне достаточна для всех практических целей. Можно ли утверждать, что решение папы Григория XIII - самое простое и естественное? С ответом потерпите до конца этой статьи.