1.  Загадка Архимеда

Многие полагают: чтобы найти что-нибудь необыкновенное, надо отправиться очень далеко, лучше всего в космос. В обыденной жизни вокруг нас все хорошо известно, и ничего интересного нет.
Какое заблуждение! Мы окружены загадочными явлениями, но не задумываемся над ними, потому что они привычны. Здесь будет рассказано о двух загадочных фактах из истории математики.
Все школьники мира "проходят" в курсе геометрии, что Архимед нашел для числа  p   приближенное значение 22/7 *).

К этому факту так привыкли, что не подозревают, какая тайна в нем скрыта. А между тем стоит только задать естественный вопрос: почему Архимед предпочел седьмые доли? Почему не восьмые? Попытка ответить на этот вопрос приведет нас в новую область арифметики.

Если есть середина отрезка

то для  определенности условимся выбирать его левый конец.

Процесс замены числа  его приближенным значением называют аппроксимацией  (приближением).

Из изложенного понятно, что для аппроксимации числа  можно пользоваться дробями с любым знаменателем. Выбор знаменателя зависит от нашего желания. Ради технического удобства почти всегда пользуются десятичными дробями. Однако во времена Архимеда десятичные дроби еще не были изобретены, и Архимед мог выбрать любые доли. Он выбрал седьмые. Почему? Терпение, скоро мы в этом разберемся.

При аппроксимации действительного числа  дробью - возникает погрешность

(запомним: погрешность есть точное значение минус приближенное ). Если приближенное значение взято с недостатком, то погрешность положительна, а если с избытком - отрицательна.
Абсолютная величина погрешности называется абсолютной погрешностью .
Ясно, что при избранном способе аппроксимации абсолютная погрешность не может превышать  (см. рис.1)

Число    есть верхняя граница   абсолютной погрешности . При другом способе аппроксимации верхняя граница может быть иной. Например, если бы мы условились всегда брать приближение с недостатком, то она равнялась бы   .

Абсолютная погрешность достигает верхней границы в том (самом неблагоприятном) случае, когда есть середина отрезка

.

Ясно, что приближение выгодно, если оно при малом знаменателе q  дает высокую точность . Чтобы характеризовать выгодность, надо сравнить две величины: 1) фактическую абсолютную погрешность, 2) верхнюю границу абсолютной погрешности:

Принято рассматривать половину этой величины. Назовем ее приведенной погрешностью

2. Загадка Григория XIII

Григорий XIII не был математиком. Он был римским папой. Тем не менее его имя связано с важной математической задачей - с проблемой календаря.

Природа дала нам две естественные единицы времени: год и сутки (солнечные). Как сказано в одном старом учебнике космографии  "к сожалению, год не равен целому числу суток".

С этим нельзя не согласиться, так как из упомянутого факта проистекает много неудобств. Зато он порождает интересную математическую проблему.

 или

Узаконить в гражданской жизни такую длину года невозможно. А что получится, если считать год равным 365 суткам?

На рис. 3 показана орбита Земли. 1 января 1970 г. в 0 час. Земля находилась в точке А. За 365 суток она не придет в ту же точку орбиты и, следовательно, 1 января 1971 г. в 0 час. окажется в точке В, а 1 января 1972 г. - в точке С и т. д. Получится, что если фиксировать некоторую дату, то положение Земли на орбите будет каждый год иное (оно будет отставать почти на 6 часов).
За четыре года отставание составит почти сутки, и фиксированная дата будет попадать на разные времена года, т. е. 1 января с зимы постепенно переместится на осень, потом на лето. Это неудобно: периодические мероприятия (посев, начало учебного года) нельзя будет связывать с определенными календарными датами.

Выход из этого положения есть. Надо считать некоторые годы по 365 суток, а некоторые по 366 суток, чередуя их так, чтобы средняя длина года была возможно ближе к истинной. Можно воспроизвести истинную длину года с любой точностью, но для этого может понадобиться очень сложный закон чередования коротких (простых) и длинных (високосных) лет, что нежелательно. Нужен компромисс: сравнительно простой закон чередования лет, дающий среднюю длину года, достаточно близкую к истинной.

Эту задачу впервые разрешил Юлий Цезарь. Разумеется, к правителю слово "разрешил" может применяться лишь условно. Это сделал для него александрийский астроном Созиген, вызванный для этой цели в Рим. Юлий Цезарь ввел такую систему: три года подряд коротких, четвертый - длинный.

Много позже, когда было принято христианское летосчисление, високосными стали считать годы, номер которых делится на 4. Этот календарь называют "юлианским". По юлианскому календарю средняя длина года составляет

Как видно, средняя длина юлианского года больше истинной на 11 мин. 14 сек. В 16 столетии папа Григорий XIII пожелал исправить эту неточность. В 1582 году он произвел следующую реформу календаря. Сохраняется чередование простых и високосных лет, но оно дополняется правилом: если номер года оканчивается двумя нулями, а число сотен не делится на 4, то этот год простой.

Например, по этому правилу 1700 год простой, но 1600 високосный.

Кроме того, считая, что от начала летосчисления (от "рождества Христова") уже накопилась ошибка в 10 дней, Григорий XIII сразу прибавил 10 дней. С тех пор накопилось еще 3 дня (в 1700, 1800 и 1900 годах). Поэтому в настоящее время между юлианским календарем и новым ("григорианским") расхождение составляет 13 дней.

Какова средняя длина григорианского года? Из 400 лет по юлианскому календарю 100 високосных, а по григорианскому - 97. Поэтому

,

т. е. она больше истинной на 26 сек.

Как видим, весьма простыми средствами достигнута очень большая точность.

В царской России до Великой Октябрьской революции пользовались юлианским календарем. Григорианский календарь был введен специальным декретом Совета Народных Комиссаров в 1918 году. Им мы и пользуемся в настоящее время. Степень его соответствия реальной длине солнечного года вполне достаточна для всех практических целей. Можно ли утверждать, что решение папы Григория XIII - самое простое и естественное? С ответом потерпите до конца этой статьи.

3. Понятие о цепной дроби   

Забудем о десятичной системе счисления. Как говорил выдающийся русский математик Николай Николаевич Лузин (1883-1950), "преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы, у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмеричной системой". Десятичная система практически очень удобна, но при исследовании теоретических вопросов арифметики она только мешает.

Итак, откажемся от специальных систем счисления, и задумаемся над вопросом: какой самый естественный способ приближенного представления положительных чисел дробями.
В ответе на этот вопрос не может быть никаких колебаний: надо прежде всего указать, между какими целыми числами оно заключено. Например,

Разумеется, достаточно указывать только меньшее из этих чисел:

,

,

.

Заметим, что такая оценка не связана со способом обозначения целых чисел, т. е. с какой-нибудь конкретной системой счисления.
Займемся числом . Наша оценка "два с лишним" слишком грубая и годится лишь как первое приближение. Если мы хотим сделать второй шаг, то мы должны оценить добавку х . Поскольку она меньше единицы, естественно представить ее как дробь с числителем 1 (мы опять апеллируем к "естественности", но это - в последний раз)

Теперь  x₁ больше единицы, и мы опять повторяем те же шаги: выделяем целую часть и т. д. и т. д. Приглашаем читателя внимательно проследить за чередованием этих двух шагов:

Выражение

Не слишком ли громоздко обозначение цепной дроби? В нашем примере получилась трехэтажная дробь, а если получится двадцатиэтажная, то ее нельзя уместить на листе бумаги.
Это  верно, и поэтому для цепных дробей употребляются различные условные обозначения. Мы будем пользоваться таким:

Прежде всего задумаемся над таким примером:

или, в сокращенных обозначениях,

[0;6,4] = [0;6,3,1],

Такое преобразование (отделение единицы от последнего элемента) можно произвести с любой цепной дробью, у которой последний элемент отличен от единицы. Если же последний элемент равен единице, то его можно прибавить к предпоследнему. Например,

[1;10,3,7,1] = [1;10,3,8].

Легко, однако, доказать, что это - единственная причина неоднозначности представления рационального числа цепной дробью.

Можно доказать,  что:

Мы этого доказывать не будем. Цель нашей статьи в том, чтобы рассказать основные идеи и побудить читателя к более основательному изучению вопроса по книгам *).

4. Бесконечные цепные дроби

А как быть с иррациональными числами? Попробуем разлагать в цепную дробь

Получим

,

,

, ,

Ясно, что

,

где .

Хочется сразу написать

,

т. е. представить  в виде бесконечной цепной дроби . Но здесь нужна крайняя осторожность: мы встретились с новым понятием "бесконечная десятичная дробь", но не знаем, что это такое. Легко понять только, что каждому положительному иррациональному числу  с о о т в е т с т в у е т  вполне определенная бесконечная последовательность

,

в конечную или бесконечную цепную дробь **).

5. Подходящие дроби   

Мы увидим, что, чем меньше n , тем подходящая дробь проще (т. е. имеет меньший знаменатель). В то же время она может использоваться как приближенное значение цепной дроби.

6. Основное свойство подходящих дробей

Сформулируем теперь без доказательства то основное свойство подходящих дробей, которое и приведет к разгадкам наших загадок.

Если  

- подходящая дробь для числа , то абсолютная погрешность

меньше, чем при аппроксимации числа любой другой дробью с меньшим знаменателем  *).

Например, получив для  подходящую дробь  , мы можем быть уверены, что приближение к   любой дроби со знаменателем, меньшим 12, будет хуже.

7. Загадка Архимеда   

Попробуем разложить в цепную дробь число

Уже на этом этапе выкладок мы видим, что первыми подходящими дробями будут

Проделайте сами выкладки и убедитесь, что

Вот и все. До чего же просто! Эта таблица раскрывает секрет Архимеда, а заодно и Меция. Из нее видно:

,

,

,

.

(нечетные приближения с недостатком, четные - с избытком).

Можно ли считать, что Архимед и Меций разоблачены: они пользовались цепными дробями, Архимед использовал вторую подходящую дробь, а Меций - четвертую?

Нет, про Архимеда этого сказать нельзя.
Следует ясно понять, что мы решили математическую, но не историческую задачу. Мы объяснили, как  м о ж н о   прийти к числу  .
Весьма возможно, что Архимед пользовался цепными дробями, но установить это по его работам нельзя. Суд не признал бы наших доводов. Историки не пришли к единому мнению. Преимущество седьмых долей можно обнаружить и эмпирически, сравнивая их с разными другими.

Другое дело Меций. Невероятно предположить, что такая сложная дробь, как    

 , 

найдена без теории. Очень вероятно, что Меций пользовался цепными дробями. Понятно почему он остановился на четвертой подходящей дроби: следующие настолько громоздки, что практически непригодны.

8. Загадка Григория XIII

Сначала подумаем, как мы сами решили бы проблему чередования високосных лет. Мы представили бы длину года в виде цепной дроби.

В графе "Погрешность" знак минус указывает, что средняя длина года больше истинной.

Четвертый вариант исключительно точен. Погрешность в 1 сек. не имеет никакого практического значения. Поэтому были предложения   использовать этот календарь. Например, в 1864 году русский астроном Медлер предложил с XX столетия ввести  такой календарь в России. Для этого надо внести  в юлианский календарь следующую поправку:  каждые  128 лет пропускать один високосный (потому что по юлианскому календарю на 128 лет приходится 32 високосных). Однако этот календарь не был принят
нигде в мире, по-видимому, потому, что период 128 "некруглый".

Решив математическую задачу, вернемся к задаче исторической. Каковы были соображения Григория XIII (или его сотрудников)?

В начале статьи говорилось, что средняя длина григорианского года

   365 суток 5 час. 49 мин. 12 сек.    

Это значение отличается от истинного на целых 26 секунд. Получается впечатление, что папа Григорий XIII или его ученые советники придумали календарь более сложный, чем хайямовский и к тому же менее точный. Значит ли это, что они были плохими математиками? Оказывается дело не в этом.

При Григории XIII продолжительность года не была известна столь точно, как теперь. Комиссия Григория XIII пользовалась астрономическими таблицами, составленными Альфонсом X (1221 - 1284), королем Кастилии, который занимался астрономией (недаром его прозвали Альфонс-астроном). Эти таблицы впервые были изданы в Венеции через сто лет после смерти их автора. В них дается следующая продолжительность года:

Пользуясь этими таблицами, комиссия должна была прийти к выводу, что предложенная ею средняя длина календарного года только на четыре секунды отличается от истинной. Если бы комиссия и была знакома с предложением Омара Хайяма, то она пришла бы к выводу, что его календарь дает ошибку в 11 секунд.
Добавим, что нет никаких оснований предполагать, что комиссия Григория XIII использовала цепные дроби. Она кропотливо, в поте лица подбирала нужное соотношение.
Что касается Омара Хайяма, то ученые думают, что он владел, если не полной теорией цепных дробей, то каким-либо аналогичным принципиальным подходом к задачам о наиболее рациональных приближениях дробями с небольшими знаменателями. В его эпоху восточная наука во многих отношениях стояла выше европейской.