В этой статье объясняется современное общее понимание слова "функция".
Статья не для легкого чтения: она требует от читателя внимания к каждому слову, хотя и не предполагает каких-либо специальных знаний, выходящих за рамки средней школы.

1  ВВЕДЕНИЕ

На вопрос "Что такое функция?" школьники часто отвечают: "Функцию можно задать таблицей, графиком или формулой". Ясно, что это н е о п  р е д е л е н и е. Но школьники, которые уклоняются от формулировки явного определения и сразу переходят к описанию того, как задают функции и не совсем неправы. Математика не может начинаться с определений. Формулируя определение некоторого понятия, мы неизбежно в самом этом определении употребляем какие-либо другие понятия. Пока мы не понимаем смысла каких-либо понятий, мы не сдвинемся с места и не сможем сформулировать ни одного определения. Поэтому изложение любой математической теории начинается с того, что какие-либо о с н о в н ы е   п о н я т и я  принимаются без определения. Пользуясь ими, уже возможно бывает формулировать определение дальнейших п р о и з в о д н ы х  п о н я т и й .
Каким же способом люди объясняют друг другу свое понимание смысла основных понятий? Для этого не существует другого способа, как разъяснение на примерах и при помощи подробного описания характерных свойств определяемых вещей. Эти описания могут быть в деталях не вполне ясными и сначала не исчерпывающими. Но постепенно из них смысл понятия вырисовывается с достаточной ясностью. Так мы подойдем к понятию функции, считая его одним из основных математических понятий, не подлежащих формальному определению.

Пример 1

Будем считать, что буквы х  и у  обозначают действительные числа. Знак буквы х  и у обозначают д е й с т в и т е л ь н ы е   ч и с л а. Знак  будем считать знаком извлечения  а р и ф м е т и ч е с к о г о  квадратного корня. Равенство

             (1)

обозначает, что выполнены условия

           (2)

Точки, координаты которых удовлетворяют этим условиям, образуют полуокружность, изображенную красной линией на рис. 1.

Рисунок 1 делает наглядными следующие факты, которые вы можете доказать и чисто алгебраическим путем:
1) формула (1) позволяет для любого х, удовлетворяющего условиям
         (3)

вычислить соответствующее ему у, которое удовлетворяет неравенствам

          (4)

2) каждому у , удовлетворяющему неравенству (4), соответствует хотя бы одно такое  х , которому по формуле (1) соответствует это заданное у.

Можно сказать, что формула (1) задает отображение  множества чисел х , удовлетворяющих неравенствам (3), на множество чисел у , подчиненных неравенствам (4). Математики часто (особенно в последнее время) для обозначения отображений употребляют стрелку. Занимающее нас отображение можно записать при помощи стрелки так:

          (5)

Например:

          (6)

Рис.2

Таблица 1