2  ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ

Нетрудно видеть, что в примере 3 на каждый из 28 дней февраля назначен определенный дежурный. Иначе говоря, множество дней февраля  о т о б р а ж е н о  на множество мальчиков, распределивших между собой дежурства. Можно условиться, что буква х  обозначает любой день февраля, a y=f(x)  - дежурного в день х . Нет никаких оснований отказывать отображению

в праве называться функцией  и записать это отображение так:

Любое отображение f множества Е на множество М мы будем называть функцией с областью определения Е и множеством значений М.
Не забудьте, что, говоря об отображении f множества E  на множество М , мы имеем в виду, что y=f(x)  определено для л ю б о г о х  из Е  и  т о л ь к о  для х  из этого множества, а значение  у  функции f непременно принадлежит множеству M , и каждое у  из этого множества М  является значением функции f хотя бы при одном значении аргумента х .

Если известно только, что значения функции f  непременно принадлежат множеству М , но не утверждается, что л ю б о и элемент этого множества является значением функции f , то говорят, что функция отображает свою область определения Е  в множество М  или что отображение f  есть отображение множества Е  в множество М .
Таким образом, надо строго различать смысл выражений
"отображение на  множество М"
"отображение в  множество М".
 

Например, про отображение

можно сказать, что оно является отображением R   в   R , но нельзя сказать, что это "отображение R на  R".

С чисто логической точки зрения наиболее простым случаем является случай, когда область определения функции конечна. Ясно, что функция, область определения которой состоит из n  элементов, не может принимать более n  различных значений. Таким образом, функции, определенные на конечных множествах, осуществляют отображения конечных множеств на конечные множества. Такие отображения являются одним из предметов изучения важной части математики - комбинаторики  (см. задачи 8, 11, 18, 19).