Целой частью  числа х  называется наибольшее целое число, не превосходящее х . Целая часть х  обозначается   [ х ]. Например,
    [0] = 0,    [7,5] = [7] = 7,    [-0,3] = -1,     .
Разность   х  - [ х ] называется дробной частью  числа х и обозначается   { x } .

Постройте графики следующих функций и найдите их области определения и множества значений:

а)   

  б)   

  в)   

  г)   

*д)   

*е)   

*ж)   

*з)   

Для любого натурального числа n  определим s ( n ) как сумму делителей числа n  (не считая самого n ).

   s (1) = 0,     s (2) = 1,   s (6) = 6,   s (12) = 16,   s (28) = 28,  ...

Доказать что, s ( n ) не принимает значений 2 и 5.

4°

Сколькими способами можно поселить:

а)  двух человек в трех комнатах,

б)  трех человек в двух комнатах,

в)  трех человек в двух комнатах так, чтобы ни одна из комнат не осталась незанятой?

Множество М  состоит из трех элементов, а множество N - из двух элементов. Сколько существует:

а)  отображений М   в   N ,

б)  отображений М   на   N ,

в)  отображений N   в   М ,

г)  отображений N   на   М ?

Сколькими способами можно рассадить:

а)  двух гостей на двух стульях,

б)  трех - на трех стульях,

в)  шестерых - на шести стульях?

Отображение конечного множества на себя называется подстановкой. Число различных подстановок множества зависит только от числа его элементов n  и обозначается n !. Покажите, что

1! = 1 ,   2! = 2 ,   3! = 6 ,   4! = 24 ,   5! = 120 ,   6! = 720.

Укажите общий способ вычисления n !

а)    

б)    

в)    

г)    

Девять туристов должны разместиться в трех лодках. Сколькими способами они могут это сделать, если требуется, чтобы:

а)  в каждой лодке было по три человека,

б)  в каждой лодке было не более четырех и не менее двух человек,

в)  в каждой лодке плыл хотя бы один турист? (Лодки имеют номера: № 1, № 2, № 3.)

Если у хозяев достаточно стульев, то не принято сажать на один стул более одного гостя: множество гостей отображается в множество стульев обратимым образом. Если в комнате всего шесть стульев, то сколькими способами можно рассадить на них:

а)  одного гостя,

б)  двух гостей,

в)  трех,

г)  четырех,

д)  пять,

е)  шесть гостей?

Обратимые отображения одного конечного множества М  в другое конечное множество N  называются в комбинаторике размещениями  (гостей "размещают" по стульям). Число отображений множества М  в множество N  зависит только от числа элементов m  множества М  и числа n  элементов множества N  и обозначается . Покажите, что

а)       

б)    

в)    

г)    

д)    

и установите общее правило вычисления . Покажите, что всегда

   .

Задача 16в  может быть сформулирована абстрактно: сколько существует отображений множества из девяти элементов на  множество из трех элементов. 

Обозначим  

число отображений множества из n  элементов на множество из m  элементов. Проверьте, что

а)   

б)   

в)   

г)   

Попробуйте дать общее правило вычисления   (это несколько более трудная задача, чем задачи 8, 11 и 18).