kvant_on_maplenet

1 1970

Ежемесячный
научно-популярный
физико-математический
журнал

3 ОБРАТИМАЯ ФУНКЦИЯ

Функция y = f(x) называется обратимой *), если каждое свое значение она принимает один-единственный раз. Таковы функции f₃(x) и f₄(x) из примера 4. Функции же f₁(x) и f₂(x) примера 4 и функции примеров 1 , 2 и З н е о б р а т и м ы.

* Происхождение названия выяснится дальше: функция обратима, если для нее существует обратная ей функция .

Чтобы доказать, что какая-либо функция необратима, достаточно указать какие-либо два значения аргумента , для которых f₁(x) = f₂(x)
В примере 3 достаточно заметить, что Петя дежурит как 1-го, так и 5 февраля. Поэтому функция примера 3 необратима.

Пример 5

Функция f

обратима. Она определена на множестве R₊неотрицательных чисел. Множеством ее значений является множество

всех неположительных чисел. Задав любое у из множества R_- , можно найти соответствующее х по формуле x = y² .

Функция g

есть функция, обратная к функции f . Она отображает множество R_- на множество R₊ . Как уже говорилось, выбор букв для обозначения независимого и зависимого переменного не существен. Функции f и g можно записать в виде

[Maple OLE 2.0 Object]

На рисунке 3 изображены графики взаимно обратных функций f u g .

Рис. 3

Пример 6

Функция f , заданная таблицей

определена на множестве первых пяти букв русского алфавита, а множество ее значений есть множество первых пяти натуральных чисел. Обратная функция g задается таблицей

На рисунке 4 даны графики этих функций.

Рис. 4

Дадим точные определения. Пусть f - отображением множества Е на множество М . Если для любого элемента у из множества М существует один-единственный элемент

множества Е , для которого

то отображение f является обратимым , а

называется отображением, обратным к отображению f .

* Такие отображения называются еще взаимно однозначными отображениями Е на M.

Таким образом, обратимость отображения f означает, что у него есть обратное отображение g . Отображение, обратное к f , принято обозначать знаком f ^-1 . Например, если

то

Так как слово "функция" есть просто синоним слова "отображения", то тем самым мы определили и смысл выражения "обратная функция".

Попробуйте сами повторить сказанное выше, употребляя вместо слова "отображение" слово "функция".

Ясно, что областью определения обратной функции f ^-1 является множество значений функции f , а множество значений f ^-1 есть область определения функции f .

Функцией, обратной к обратной функции f ^-1 , является исходная функция f :

Таким образом, функции f и f ^-1 всегда взаимно обратны.

Пример 7

Существуют функции, которые сами себе обратны. Таковы функции

Проверьте! Графики этих функций даны на рисунке 5. Заметьте, что все эти графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов, т. е. прямой у = х .

Рис.5

Изобразим схематически соотношения между разными видами отображения множества А на множество В и А в множество В.

Напомним еще раз, что самым общим понятием является понятие отображения А в В . Если при таком отображении образ А совпадает с В , говорят об отображении А на В .

Обратимые отображения называют еще взаимно однозначными отображениями. Этот термин вам часто встретится в книгах. Но не принято говорить о "взаимно однозначных функциях". Так как мы считаем слова "функция" и "отображение" синонимами, то вместо, слов "взаимно однозначный" мы предпочли применять слова "обратимая функция" или, что то же самое, "обратимое отображение".

В последнее время в нашей литературе получила еще распространение французская терминология:
1) отображение А на В французы называют "сюръективными", или "сюръекциями";
2) обратимые отображения А в В они называют "инъективными" или "инъекциями",
3) обратимые отображения А на В во французской терминологии называются "биективными", или "биекциями".
Обратите внимание на то, что при внимательном отношении к употреблению предлогов " в " и " на " такое обилие терминов излишне.

Глава I

Глава II

Глава III

Задачи

maplenet 2233

valery